Question

規定A_x^m=x（x-1）…（x-m+1），其中x∈R，m為正整數，且A_x⁰=1，這是排列數A_n^m（n，m是正整數，且m≤n）的一種推廣．
（1）求A_-15³的值；
（2）排列數的性質：A_n^m=nA_n-1^m-1（其中m，n是正整數）．問是否都能推廣到A_x^m（x∈R，m是正整數）的情形？若能推廣，寫出推廣的形式，并且給予證明．

Answer 1

考點：排列及排列數公式

專題：推理和證明,排列組合

分析：（1）根據所給的組合數公式，寫出C_-15³值，這里與平常所做的題目不同的是組合數的下標是一個負數，在本題的新定義下，按照一般組合數的公式來用．
（2）A_n^m=nA_n-1^m-1能推廣到A_x^m的情形，分m=1和m≥2兩種情況證明，最后綜合結論可以論證．

解答： 解：（1）A_-15³=（-15）（-16）（-17）=-4080；
（2）性質可推廣，推廣的形式分別是A_x^m=xA_x-1^m-1，理由如下：
①當m=1時，左邊=A_x¹=x，右邊=xA_x-1⁰=x，等式成立；
②當m≥2時，左邊=x（x-1）（x-2）…（x-m+1）=x{（x-1）（x-2）…[（x-1）-（m-1）+1]}=xA_x-1^m-1，
因此，A_x^m=xA_x-1^m-1成立；

點評：本題考查組合數公式，不是在一般的情況下應用組合數公式，而是對于組合數公式推廣使用，是一個中檔題，題目解起來容易出錯．這種題目對于學生幫助不大．