Question

2．學校游園活動有這樣一個游戲項目：甲箱子里裝有3個白球、2個黑球．乙箱子里裝有1個白球、2個黑球．每次游戲從這兩個箱子里隨機摸出2個球，若摸出的白球不少于2個，則獲獎．（每次游戲結束后將球放回原箱）
（1）求在1次游戲結束后，?①摸出3個白球的概率？?②獲獎的概率？
（2）求在2次游戲中獲獎次數X的分布列及數學期望E（X）．

Answer 1

分析 （1）設“摸出3個白球”為事件A，則必須從甲箱子里摸出2個白球，從乙箱子里摸出1個白球與1個黑球．可得P（A）=$\frac{{∁}_{3}^{2}•{∁}_{1}^{1}{∁}_{2}^{1}}{{∁}_{5}^{2}•{∁}_{3}^{2}}$．
②設“獲獎”為事件B，B包括兩種情況：一種是從甲箱子里摸出1個白球與一個黑球，從乙箱子里摸出1個白球與1個黑球；另一種是從甲箱子里摸出2個白球，從乙箱子里3個球中摸出2個球．可得P（B）．
（2）由（1）②可知：在1次游戲中，“獲獎”的概率P=$\frac{7}{10}$，因此X～B$（2，\frac{7}{10}）$．利用P（X=k）=${∁}_{2}^{k}（\frac{3}{10}）^{2-k}•（\frac{7}{10}）^{k}$，（k=0，1，2），即可得出分布列與數學期望．

解答 解：（1）設“摸出3個白球”為事件A，則必須從甲箱子里摸出2個白球，從乙箱子里摸出1個白球與1個黑球．
∴P（A）=$\frac{{∁}_{3}^{2}•{∁}_{1}^{1}{∁}_{2}^{1}}{{∁}_{5}^{2}•{∁}_{3}^{2}}$=$\frac{1}{5}$．
②設“獲獎”為事件B，B包括兩種情況：一種是從甲箱子里摸出1個白球與一個黑球，從乙箱子里摸出1個白球與1個黑球；另一種是從甲箱子里摸出2個白球，從乙箱子里3個球中摸出2個球．
則P（B）=$\frac{{∁}_{3}^{1}{∁}_{2}^{1}•{∁}_{1}^{1}{∁}_{2}^{1}+{∁}_{3}^{2}•{∁}_{3}^{2}}{{∁}_{5}^{2}•{∁}_{3}^{2}}$=$\frac{7}{10}$．
（2）由（1）②可知：在1次游戲中，“獲獎”的概率P=$\frac{7}{10}$，因此X～B$（2，\frac{7}{10}）$．P（X=k）=${∁}_{2}^{k}（\frac{3}{10}）^{2-k}•（\frac{7}{10}）^{k}$，（k=0，1，2）．

X	0	1	2
P	$\frac{9}{100}$	$\frac{42}{100}$	$\frac{49}{100}$

∴E（X）=$2×\frac{7}{10}$=75．

點評 本題考查了古典概率與相互獨立及互斥事件的概率計算公式、二項分布列的計算公式與數學期望，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．