Question

證明：對任給的奇素數p，總存在無窮多個正整數n使得p|（n2n﹣1）．

 

Answer 1

見解析

【解析】

試題分析：取n=（p﹣1）k，則由費爾馬小定理知2（p﹣1）k≡1（mod p），證明p|（n2n﹣1）即證（p﹣1）k•2（p﹣1）k≡1（mod p），從而可得k=pr﹣1（r∈N*），即可證明．

證明：取n=（p﹣1）k，則由費爾馬小定理知2（p﹣1）k≡1（mod p），

所以p|（n2n﹣1）等價于（p﹣1）k•2（p﹣1）k≡1（mod p），

等價于（p﹣1）k≡1（mod p），

等價于k≡1（mod p），

取k=pr﹣1（r∈N*），

∴n=（p﹣1）（pr﹣1），就有（p﹣1）k•2（p﹣1）k≡1（mod p），即p|（n2n﹣1）．