Question

15．如圖，正方形ADMN與矩形ABCD所在的平面相互垂直，AB=2AD=6，點E為線段AB上一點．

（1）若點E是AB的中點，求證：BM∥平面NDE；
（2）若二面角D-CE-M的大小為$\frac{π}{6}$，求出AE的長．

Answer 1

分析 （1）連結(jié)AM，設(shè)AM∩ND=F，連結(jié)EF，推導(dǎo)出EF∥BM，由此能證明BM∥平面NDE．
（2）以D為坐標(biāo)原點，DA，DC，DM為x，y，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出二面角D-CE-M的大小為$\frac{π}{6}$時，AE的長．

解答 證明：（1）連結(jié)AM，設(shè)AM∩ND=F，連結(jié)EF，
∵四邊形ADMN為正方形，∴F是AM的中點，
又∵E是AB中點，∴EF∥BM，
又∵EF?平面NDE，BM?平面NDE，
∴BM∥平面NDE．
解：（2）∵M(jìn)D⊥AD，平面ADMN⊥平面ABCD，交線為AD，MD?平面ADMN，
∴MD⊥平面ABCD，又∵AD⊥DC，
∴以D為坐標(biāo)原點，DA，DC，DM為x，y，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
則D（0，0，0），C（0，6，0），M（0，0，3），
設(shè)AE=a，（0≤a≤6），則E（3，a，0），$\overrightarrow{EC}$=（-3，6-a，0），$\overrightarrow{MC}$=（0，6，-3），
設(shè)平面CEM的法向量為$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
則$\left\{\begin{array}{l}{-3x+（6-a）y=0}\\{6y-3z=0}\end{array}\right.$，令y=1，得x=$\frac{6-a}{3}$，z=2，
∴$\overrightarrow{n}$=（$\frac{6-a}{3}$，1，2），
又∵平面DCE的一個法向量為$\overrightarrow{m}$=（0，0，1），且二面角的大小為$\frac{π}{6}$，
∴cos$\frac{π}{6}$=$\frac{|\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{2}{1×\sqrt{（\frac{6-a}{3}）^{2}+1+4}}$，解得a=6-$\sqrt{3}$，（0≤a≤6），
由二面角D-CE-M的大小為$\frac{π}{6}$，
可得AE=6-$\sqrt{3}$．

點評 本題考查線面平行的證明，考查二面角的求法及應(yīng)用，是中檔題，解題時要認(rèn)真審題，注意空間思維能力培養(yǎng)和向量法的合理運用．