Question

7．已知Rt△ABC，點D為斜邊BC的中點，$|{\overrightarrow{AB}}|=6\sqrt{3}$，$|{\overrightarrow{AC}}|=6$，$\overrightarrow{AE}=\frac{1}{2}\overrightarrow{ED}$，則$\overrightarrow{AE}•\overrightarrow{EB}$等于（　　）

• A． -14
• B． -9
• C． 9
• D． 14

Answer 1

分析 可分別以直線AC，AB為x，y軸，建立平面直角坐標系，根據條件便可求出點A，B，C，D的坐標，進而求出點E的坐標，從而得出向量$\overrightarrow{AE}，\overrightarrow{EB}$的坐標，這樣進行數量積的坐標運算即可求出$\overrightarrow{AE}•\overrightarrow{EB}$的值．

解答 解：如圖，分別以邊AC，AB所在直線為x，y軸，建立平面直角坐標系，則：

$A（0，0），B（0，6\sqrt{3}），C（6，0），D（3，3\sqrt{3}）$；
$\overrightarrow{AE}=\frac{1}{2}\overrightarrow{ED}$；
∴$\overrightarrow{AE}=\frac{1}{3}\overrightarrow{AD}$=$\frac{1}{3}（3，3\sqrt{3}）$；
∴$\overrightarrow{AE}$=$（1，\sqrt{3}）$，$E（1，\sqrt{3}）$，$\overrightarrow{EB}=（-1，5\sqrt{3}）$；
∴$\overrightarrow{AE}•\overrightarrow{EB}=-1+15=14$．
故選：D．

點評 考查建立平面直角坐標系，通過坐標解決向量問題的方法，能求平面上點的坐標，以及向量數乘的幾何意義，數量積的坐標運算．