Question

3．已知{a_n}是等差數列，公差d＞0，S_n是其前n項和，a₁a₄=22，S₄=26．
（1）求數列{a_n}的通項公式；
（2）令${b_n}=\frac{1}{{{a_n}{a_{n+1}}}}$，數列{b_n}的前n項和為T_n，求證：${T_n}＜\frac{1}{6}$．

Answer 1

分析 （1）利用等差數列的通項公式與求和公式即可得出．
（2）利用“裂項求和”方法、數列的單調性即可證明．

解答 （1）解：∵a₁a₄=22，S₄=26，∴a₁（a₁+3d）=22，4a₁+$\frac{4×3}{2}$d=26，
解得a₁=2，d=3；a₁=11，d=-3（舍去）．
∴a_n=2+3（n-1）=3n-1．
（2）證明：${b_n}=\frac{1}{{{a_n}{a_{n+1}}}}$=$\frac{1}{（3n-1）（3n+2）}$=$\frac{1}{3}$$（\frac{1}{3n-1}-\frac{1}{3n+2}）$，
數列{b_n}的前n項和為T_n=$\frac{1}{3}[（\frac{1}{2}-\frac{1}{5}）+（\frac{1}{5}-\frac{1}{8}）$+…+$（\frac{1}{3n-1}-\frac{1}{3n+2}）]$
=$\frac{1}{3}（\frac{1}{2}-\frac{1}{3n+2}）$＜$\frac{1}{6}$．

點評 本題考查了等差數列的通項公式與求和公式、“裂項求和”方法、數列的單調性，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．