Question

9．在長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=BC=$\sqrt{2}$AA₁，Q是棱CC₁上的動點，則當BQ+D₁Q的長度取得最小值時，直線B₁Q和直線BD所成的角的正切值是$\frac{\sqrt{5}}{2}$．

Answer 1

分析 當BQ+D₁Q的長度取得最小值時Q是CC₁的中點，以D₁為原點，D₁A₁為x軸，D₁C₁為y軸，D₁D為z軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能求出直線B₁Q和直線BD所成的角的正切值．

解答 解：設AB=BC=$\sqrt{2}$AA₁=$\sqrt{2}$，
把B₁C₁CB展開與D₁C₁CD成一個長方形D₁B₁BD時，
連結D₁B，交CC₁于Q時，當BQ+D₁Q的長度取得最小值，
此時Q是CC₁的中點，
以D₁為原點，D₁A₁為x軸，D₁C₁為y軸，D₁D為z軸，建立空間直角坐標系，
則B₁（$\sqrt{2}，\sqrt{2}，0$），Q（0，$\sqrt{2}$，$\frac{1}{2}$），B（$\sqrt{2}，\sqrt{2}$，1），D（0，0，1），
$\overrightarrow{{B}_{1}Q}$=（-$\sqrt{2}$，0，$\frac{1}{2}$），$\overrightarrow{BD}$=（-$\sqrt{2}$，-$\sqrt{2}$，0），
設直線B₁Q和直線BD所成角為θ，
則cosθ=$\frac{|\overrightarrow{{B}_{1}Q}•\overrightarrow{BD}|}{|\overrightarrow{{B}_{1}Q}|•|\overrightarrow{BD}|}$=$\frac{2}{\sqrt{\frac{9}{4}}•\sqrt{4}}$=$\frac{2}{3}$，
tanθ=$\frac{\sqrt{5}}{2}$．
故答案為：$\frac{\sqrt{5}}{2}$．

點評 本題考查線線角的正切值的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意空間思維能力的培養．