Question

6．定義在R上的函數f（x）既是奇函數又是周期函數，若f（x）的最小正周期是π，且當$x∈[0，\frac{π}{2}）$時，f（x）=sinx，則$f（\frac{8}{3}π）$的值為（　　）

• A． $\frac{1}{2}$
• B． $-\frac{{\sqrt{3}}}{2}$
• C． $\frac{{\sqrt{3}}}{2}$
• D． $-\frac{1}{2}$

Answer 1

分析 由已知中函數f（x）定義在R上的奇函數f（x）是以π為最小正周期的周期函數，可得$f（\frac{8}{3}π）$=f（-$\frac{π}{3}$）=-f（$\frac{π}{3}$），進而由當$x∈[0，\frac{π}{2}）$時，f（x）=sinx，可得答案．

解答 解：∵函數f（x）定義在R上的奇函數f（x）是以π為最小正周期的周期函數，
∴$f（\frac{8}{3}π）$=f（-$\frac{π}{3}$）=-f（$\frac{π}{3}$），
又由當$x∈[0，\frac{π}{2}）$時，f（x）=sinx，
∴f（$\frac{π}{3}$）=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
故$f（\frac{8}{3}π）$=-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
故選B．

點評 本題考查的知識點是函數的周期性與函數的奇偶性，函數求值，是函數圖象和性質的綜合應用，難度中檔．