Question

11．下列不等式一定成立的是（　　）

• A． lg（x²+$\frac{1}{4}$）＞lgx（x＞0）
• B． sin x+$\frac{1}{sinx}$≥2（x≠$\frac{kπ}{2}$，k∈Z）
• C． x²+1≥2|x|（x∈R）
• D． $\frac{1}{{x}^{2}+1}$＞1（x∈R）

Answer 1

分析 利用基本不等式的性質依次判斷各選項即可得出．

解答 解：對于A：lg（x²+$\frac{1}{4}$）＞lgx（x＞0）等價于${x}^{2}+\frac{1}{4}＞x$，即$（x-\frac{1}{2}）^{2}＞0$，故得x$≠\frac{1}{2}$，而題設x＞0，當x=$\frac{1}{2}$時不成立．
對于B：sin x+$\frac{1}{sinx}$≥2（x≠$\frac{kπ}{2}$，k∈Z）當且僅當sin²=1時取等號．此時x=$\frac{kπ}{2}$，與題設x≠$\frac{kπ}{2}$，k∈Z矛盾，∴不成立．
對于C：x²+1≥2|x|（x∈R）等價于$|x|+\frac{1}{|x|}≥2$，當且僅當x=±1取等號．∴成立．
對于D：$\frac{1}{{x}^{2}+1}$＞1（x∈R）等價于x²+1＜1，即x²＜0，無解，∴不成立．
故選：C．

點評 本題考查了基本不等式的性質，考查了靈活解決問題的能力，屬于基礎題．