Question

19．已知橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的左頂點為A，上頂點為B，右焦點為F，設線段AB的中點為M，若2$\overrightarrow{MA}$•$\overrightarrow{MF}$+$\overrightarrow{BF}$²＜0，則該橢圓離心率的取值范圍為（$\sqrt{3}$-1，1）．

Answer 1

分析 求得A，B，F點坐標，根據中點坐標公式，代入求得M坐標，$\overrightarrow{MA}$=（-$\frac{a}{2}$，-$\frac{b}{2}$），$\overrightarrow{BA}$=（-a，-b），則$\overrightarrow{BA}$•$\overrightarrow{MF}$+${\overrightarrow{BF}}^{2}$＜0，根據向量的數量積的坐標運算，利用離心率公式，即可求得橢圓離心率的取值范圍．

解答 解：由題意，A（-a，0），B（0，b），F（c，0），則M（-$\frac{a}{2}$，$\frac{b}{2}$），
$\overrightarrow{MA}$=（-$\frac{a}{2}$，-$\frac{b}{2}$），$\overrightarrow{BA}$=（-a，-b），
∵2$\overrightarrow{MA}$•$\overrightarrow{MF}$+$\overrightarrow{BF}$²＜0，
$\overrightarrow{BA}$•$\overrightarrow{MF}$+${\overrightarrow{BF}}^{2}$＜0
∴（-a，-b）（c+$\frac{a}{2}$，-$\frac{b}{2}$）+b²+c²＜0，
∴-ac-$\frac{{a}^{2}}{2}$+$\frac{{a}^{2}-{c}^{2}}{2}$+a²＜0，整理得：c²+2ac-2a²＞0，
由橢圓的離心率e=$\frac{c}{a}$，兩邊同除以a²，
∴e²+2e-2＞0
∴e＜-1-$\sqrt{3}$或e＞$\sqrt{3}$-1，
∵0＜e＜1，
∴$\sqrt{3}$-1＜e＜1，
故答案為：（$\sqrt{3}$-1，1）．

點評 本題考查橢圓的簡單幾何性質，考查向量數量積的坐標運算，一元二次不等式的解法，考查計算能力，屬于中檔題．