Question

6．設直線系M：xcosθ+ysinθ=1，對于下列四個命題：
①不在直線系M中的點都落在面積為π的區域內
②直線系M中所有直線為一組平行線
③直線系M中所有直線均經過一個定點
④對于任意整數n（n≥3），存在正n邊形，其所有邊均在直線系M中的直線上
其中真命題的代號是①④（寫出所有真命題的代號）．

Answer 1

分析 直線M：xcosθ+ysinθ=1，則點（0，0）到直線的距離d=$\frac{1}{\sqrt{si{n}^{2}θ+co{s}^{2}θ}}$=1．因此直線系表示的是x²+y²=1的圓的所有切線，據此可以判斷：①滿足條件的點的圓的面積為π，正確．②不正確．③不正確；
④對于任意正整數n（n≥3），由于上述給出的圓有外切正多邊形，即可判斷出正誤．

解答 解：直線M：xcosθ+ysinθ=1，則點（0，0）到直線的距離d=$\frac{1}{\sqrt{si{n}^{2}θ+co{s}^{2}θ}}$=1．
因此直線系表示的是x²+y²=1的圓的所有切線，據此可以判斷：
①滿足條件的點的圓的面積為π，正確．
②不正確．
③M中所有直線均過一個定點，不正確；
④對于任意正整數n（n≥3），由于上述給出的圓有外切正多邊形，因此存在正n邊形其所有邊均在M中直線上，正確．
綜上可得：正確的命題是①④．①④

點評 本題考查了直線系的應用、點到直線的距離公式、直線與圓的位置關系，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．