Question

(本題滿分16分) 本題共有3個小題，第1小題滿分4分，第2小題滿分6分. 第3小題滿分6分.
（文）已知橢圓的一個焦點為，點在橢圓上，點滿足（其中為坐標原點）, 過點作一斜率為的直線交橢圓于、兩點(其中點在軸上方，點在軸下方) .

(1)求橢圓的方程；
(2)若，求的面積；
(3)設點為點關于軸的對稱點，判斷與的位置關系，并說明理由.

Answer 1

（1）（2）（3）與共線，設出點的坐標，用向量的坐標運算即可證明.

試題分析：(1)由，得                                        ……2分
解得a²=2,b²=1,
所以，橢圓方程為.                                           ……4分
(2)設PQ:y=x-1，
由得3y²+2y-1=0,                                           ……6分
解得： P(),Q(0,-1)，
由條件可知點,
所以=|FT||y₁-y₂|=.                                          ……10分
(3) 判斷：與共線.                                            ……11分
設
則(x₁,-y₁)，=(x₂-x₁,y₂+y₁)，=(x₂-2,y₂),                        ……12分
由得.                       ……13分
(x₂-x₁)y₂-(x₂-2)(y₁+y₂)=(x₂-x₁)k(x₂-1)-(x₂-2)(kx₁-k+kx₂-k)
=3k(x₁+x₂)-2kx₁x₂-4k=3k-2k-4k
=k()=0.                                          ……15分
所以，與共線.                                                ……16分
點評：高考中圓錐曲線的題目一般難度較大，而且一般運算量較大，要仔細運算，更要結合圖形數形結合簡化求解過程.