Question

已知函數f（log_ax）=

a

a2-1

(x-x-1)，其中a＞0且a≠1．
（1）求函數f（x）的解析式，并判斷其奇偶性和單調性；
（2）對于函數f（x），當x∈（-1，1）時，f（1-m）+f（1-m²）＜0，求實數m的取值范圍；
（3）當x∈（-∞，2）時，f（x）-6的值恒為負數，求函數a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）根據對數式與相應指數式的關系，由函數f（log_ax）=

a

a2-1

(x-x-1)，將括號中對應的對數式化為x后，解析式中x要化為a^x，求出解析式后，可根據奇偶性的定義及導數法，求出函數的奇偶性和單調性；
（2）根據（1）中函數的性質，及x∈（-1，1）可將不等式f（1-m）+f（1-m²）＜0，化為-1＜1-m＜1-m²＜1，進而得到實數m的取值范圍；
（3）由當x∈（-∞，2）時，f（x）-6的值恒為負數，根據函數的單調性可得f（2）-6≤0整理可得a的取值范圍．

解答：解：（1）由f（log_ax）=

a

a2-1

(x-x-1)，得f(x)=

a

a2-1

(ax-a-x)，…2’
因為定義域為R，
f(-x)=

a

a2-1

(a-x-ax)=-f（x）
所以f（x）為奇函數，…4’
因為f′(x)=

a•lna

a2-1

(ax+a-x)，
當0＜a＜1及a＞1時，f′（x）＞0，
所以f（x）為R上的單調增函數；…6’
（2）由f（1-m）+f（1-m²）＜0，得f（1-m）＜-f（1-m²）=f（m²-1），，
又x∈（-1，1），則-1＜1-m＜1-m²＜1，得1＜m＜

2

；…10’
（3）因為f（x）為R上的單調增函數，所以當x∈（0，2）時，f（x）-6的值恒為負數，
所以f（x）-6＜0恒成立，
則f（2）-6=

a

a2-1

(a2-a-2)-6≤0，…12’
整理得a²-6a+1≤0，所以3-2

2

≤a≤3+2

2

，
又a＞0且a≠1，所以實數a的取值范圍是[3-2

2

，1）∪（1，≤3+2

2

]．…14’

點評：本題是函數奇偶性與單調性的綜合應用，特別是后面抽象不等式及恒成立問題，難度較大．