Question

已知函數f(x)=loga(x+1)，g(x)=loga(1-x)（其中a＞1）
（1）求函數f（x）+g（x）的定義域；
（2）判斷函數f（x）-g（x）的奇偶性，并予以證明．

Answer 1

分析：（1）由題意得：x+1＞0，1-x＞0，可求函數的定義域
（2）令F(x)=f(x)-g(x)=lo

g

(x+1) a

-lo

g

(1-x) a

=lo

g

x+1 1-x a

（-1＜x＜1），只要檢驗F（-x）與F（x）的關系即可判斷

解答：解：（1）由題意得：x+1＞0，1-x＞0．（2分）
解得：-1＜x＜1     …．（3分）
∴所求函數的定義域為{x|-1＜x＜1}    …（4分）
（2）是奇函數…（5分）（或者在題的最后寫這個結論也給分）
證明：x+1＞01-x＞0解得：-1＜x＜1              …．（7分）
令F(x)=f(x)-g(x)=lo

g

(x+1) a

-lo

g

(1-x) a

=lo

g

x+1 1-x a

  （-1＜x＜1）
F(-x)=f(-x)-g(-x)=lo

g

(1-x) a

-lo

g

(1+x) a

=lo

g

1-x 1+x a

=log(

x+1

1-x

)-1=-lo

g

x+1 1-x a

=-F(x)        …（9分）
∴該函數為奇函數．        …（10分）

點評：本題主要考查了對數函數的定義域的求解，函數的奇偶性的判斷，解題的關鍵是熟練掌握基本概念與基本方法