Question

6．已知$\overrightarrow{OA}$=（0，-2），$\overrightarrow{OB}$=（0，2），直線l：y=-2，動點P到直線l的距離為d，且d=|$\overrightarrow{PB}$|．
1）求動點P的軌跡方程；
（2）直線m：y=$\sqrt{k}$x+1（k＞0）與點P的軌跡交于M，N兩點，當$\overrightarrow{AM}$•$\overrightarrow{AN}$≥17時，求直線m的傾斜角α的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）設P（x，y），由d=|$\overrightarrow{PB}$|，可得|y+2|=$\sqrt{{x}^{2}+（y-2）^{2}}$，化簡即可得出．
（2）設M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）．直線方程與拋物線方程聯立化為：x²-8$\sqrt{k}$x-8=0，把根與系數的關系代入$\overrightarrow{AM}$•$\overrightarrow{AN}$=x₁x₂+（y₁+2）（y₂+2）=x₁x₂+$（\sqrt{k}{x}_{1}+3）（\sqrt{k}{x}_{2}+3）$，化簡再利用$\overrightarrow{AM}$•$\overrightarrow{AN}$≥17，可得k的求值法，再利用直線傾斜角與斜率的關系即可得出．

解答 解：（1）設P（x，y），$\overrightarrow{PB}$=（-x，2-y）．
∵d=|$\overrightarrow{PB}$|，∴|y+2|=$\sqrt{{x}^{2}+（y-2）^{2}}$，化為：x²=8y．（y≥0）
（2）設M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）．
聯立$\left\{\begin{array}{l}{y=\sqrt{k}x+1}\\{{x}^{2}=8y}\end{array}\right.$，化為：x²-8$\sqrt{k}$x-8=0，
△＞0，
∴x₁+x₂=8$\sqrt{k}$，x₁x₂=-8．
∴$\overrightarrow{AM}$•$\overrightarrow{AN}$=x₁x₂+（y₁+2）（y₂+2）=x₁x₂+$（\sqrt{k}{x}_{1}+3）（\sqrt{k}{x}_{2}+3）$
=（1+k）x₁x₂+$3\sqrt{k}$（x₁+x₂）+9
=-8（1+k）+3$\sqrt{k}$$•8\sqrt{k}$+9
=16k+1，
∵$\overrightarrow{AM}$•$\overrightarrow{AN}$≥17，∴16k+1≥17，∴k≥1．
∴tanα=$\sqrt{k}$≥1，又α∈[0，π），
∴$\frac{π}{4}$≤$α＜\frac{π}{2}$，
即直線m的傾斜角α的取值范圍是$[\frac{π}{4}，\frac{π}{2}）$．

點評 本題考查了向量的模、拋物線的標準方程及其性質、直線與拋物線相交問題、一元二次方程的根與系數的關系、數量積運算性質、直線傾斜角與斜率的關系、三角函數求值，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．