Question

3．在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若3cos（B-C）-2=6cosBcosC．
（1）求cosA的值；
（2）若a=$\sqrt{5}$，△ABC的面積為$\sqrt{5}$，求b，c邊長．

Answer 1

分析 （1）由已知利用兩角和與差的余弦函數公式化簡可得$cos（{B+C}）=-\frac{2}{3}$，根據三角形內角和定理，誘導公式即可求得cosA的值．
（2）由同角三角函數基本關系式可求sinA，結合三角形面積公式可求bc=6，利用余弦定理可求b+c=5，聯立即可解得b，c的值．

解答 （本題滿分為12分）
解：（1）由3cos（B-C）-2=6cosBcosC，
得3（cosBcosC-sinBsinC）=-2，…（2分）
即$cos（{B+C}）=-\frac{2}{3}$，…（3分）
在△ABC內，$cosA=-cos（{B+C}）=\frac{2}{3}$，…（5分）
（2）∵$0＜A＜π，cosA=\frac{2}{3}$，
∴$sinA=\frac{{\sqrt{5}}}{3}$，由$\sqrt{5}$=$\frac{1}{2}$bcsinA=$\frac{1}{2}×\frac{\sqrt{5}}{3}$bc，可得：bc=6，
由余弦定理，得a²=b²+c²-2bccosA，…（8分）
∴5=（b+c）²-2bc（1+cosA）=（b+c）²-20，
∴b+c=5…（10分）
∴由$\left\{{\begin{array}{l}{b+c=5}\\{bc=6}\end{array}}\right.$，得$\left\{{\begin{array}{l}{b=2}\\{c=3}\end{array}}\right.$或$\left\{{\begin{array}{l}{b=3}\\{c=2}\end{array}}\right.$．…（12分）

點評 本題主要考查了兩角和與差的余弦函數公式，三角形內角和定理，誘導公式，同角三角函數基本關系式，三角形面積公式，余弦定理在解三角形中的綜合應用，考查了轉化思想，屬于中檔題．