Question

11．如圖，四棱錐P-ABCD的底面為直角梯形，AD∥BC，AD=2BC=2，BC⊥DC，∠BAD=60°，平面PAD⊥底面ABCD，E為AD的中點，△PAD為正三角形，M是棱PC上的一點（異于端點）．
（Ⅰ）若M為PC中點，求證：PA∥平面BME；
（Ⅱ）是否存在點M，使二面角M-BE-D的大小為30°．若存在，求出點M的位置；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）連接AC交BE與點F，連接CE，推導出四邊形ABCE為平行四邊形，從而MF∥PA，由此能證明PA∥平面BME．
（Ⅱ）連接PE，以E為坐標原點建立如圖所示空間直角坐標系，利用向量法能求出存在點M滿足條件，且M為棱PC上靠近端點C的四等分點．

解答 證明：（Ⅰ）如圖，連接AC交BE與點F，連接CE，
由題意知BC∥AE且BC=AE，故四邊形ABCE為平行四邊形，
∴F為AC中點，
∴在△PAC中，又由M為PC中點有：MF∥PA，
又MF⊆面BME，PA?面BME，
∴PA∥平面BME．
解：（Ⅱ）連接PE，則由題意知PE⊥平面ABCD，
故以E為坐標原點建立如圖所示空間直角坐標系，
則$E（{0，0，0}），P（{0，0，\sqrt{3}}），B（{\sqrt{3}，0，0}），C（{\sqrt{3}，-1，0}）$，
設$\overrightarrow{PM}=λ\overrightarrow{PC}=（{0＜λ＜1}）$，則$M（{\sqrt{3}λ，-λ，（{1-λ}）\sqrt{3}}）$，
∴$\overrightarrow{EM}=（{\sqrt{3}λ，-λ，（{1-λ}）\sqrt{3}}），\overrightarrow{EB}=（{\sqrt{3}，0，0}）$，
記平面DBE的法向量$\overrightarrow{n}$=（0，0，1），平面BME的法向量$\overrightarrow{m}$=（x，y，z），
則由$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{EM}=\sqrt{3}λx-λy+（1-λ）\sqrt{3}z=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{EB}=\sqrt{3}x=0}\end{array}\right.$，有$\left\{\begin{array}{l}\sqrt{3}λx-λy+（{1-λ}）\sqrt{3}z=0\\ \sqrt{3}x=0\end{array}\right.$
令$y=\sqrt{3}$，得$\overrightarrow{m}$=（0，$\sqrt{3}$，$\frac{λ}{1-λ}$），
又由二面角M-BE-D的大小為30°，得$\frac{|\overrightarrow{n}•\overrightarrow{m}|}{|\overrightarrow{n}|•|\overrightarrow{m}|}$=$\frac{|\frac{λ}{1-λ}|}{\sqrt{3+（\frac{λ}{1-λ}）^{2}}}$=cos30°=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
解得$λ=\frac{3}{4}$，∴$M=（{\frac{{3\sqrt{3}}}{4}，-\frac{3}{4}，\frac{{\sqrt{3}}}{4}}）$
故存在點M滿足，且M為棱PC上靠近端點C的四等分點．

點評 本題考查線面平行的證明，考查滿足條件的點是否存在的判斷與求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意向量法的合理運用．