Question

【題目】中，為的中點，為外心，點滿足.

（1）證明：；

（2）若，設與相交于點，關于點對稱，且，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）

【解析】

（1）根據平面向量的加法與減法運算,化簡即可求解.

（2）根據題意,可得.而為的中點,與重合,為的重心,建立平面直角坐標系, 設,,寫出各個點的坐標,表示出與,即可根據平面向量數量積的定義用三角函數式表示出來.利用輔助角公式,即可求得的取值范圍.

（1）證明:為的中點,為外心,點滿足

根據平面向量的減法運算可得

而

則代入可得

即

（2）由,

兩邊同時平方,展開化簡可得

所以.此時為的中點,與重合,為的重心,

如圖建立平面直角坐標系,

設,則,且

設,則,

則有,,

且.

設

∴

.

由正弦函數的性質可知,

即