Question

在△ABC中，在AC上取點N，使AC=3AN，在AB上取點M，使AB=3AM，在BN的延長線上取點P，使BN=2NP，在CM的延長線上取點Q，使CM=2MQ，如圖所示，記向量

AB

=

a

，向量

AC

=

b

．
（1）用向量

a

、

b

表示向量

AP

；
（2）用向量知識證明：A、P、Q三點共線，且AP=AQ．

Answer 1

考點：平面向量的基本定理及其意義

專題：平面向量及應用

分析：由題意，連結MN作圖，由相似比可出求λ的值．

解答： 解：（1）由AC=3AN，AB=3AM，BN=2NP，得到MN∥BC∥AP，向量

AP

=

AN

+

NP

=

1

3

AC

+

1

3

BP

=

1

3

AC

+

1

3

AP

-

1

3

AB

，所以

2

3

AP

=

1

3

b

-

1

3

a

，所以

AP

=

1

2

b

-

1

2

a

；
（2）在CM的延長線上取點Q，使CM=2MQ，又AC=3AN，所以MN∥AQ，所以

AQ

=

AM

+

MQ

=

1

3

AB

+

1

3

CQ

=

1

3

AB

+

1

3

AQ

-

1

3

AC

，所以

2

3

AQ

=

1

3

a

-

1

3

b

，
所以

AQ

=

1

2

a

-

1

2

b

，
所以

AQ

=-

AP

，
所以A、P、Q三點共線，且AP=AQ．

點評：本題考查了平面向量的應用及平面幾何中相似比的應用，屬于中檔題．