Question

18．已知f（x）（x∈R）有導函數，且?x∈R，f′（x）＞f（x），n∈N^*，則有（　　）

• A． eⁿf（-n）＜f（0），f（n）＞eⁿf（0）
• B． eⁿf（-n）＜f（0），f（n）＜eⁿf（0）
• C． eⁿf（-n）＞f（0），f（n）＞eⁿf（0）
• D． eⁿf（-n）＞f（0），f（n）＜eⁿf（0）

Answer 1

分析 設$g（x）=\frac{f（x）}{{e}^{x}}$，求出函數g（x）的導數，得到函數的單調性，從而判斷函數值的大小即可．

解答 解：設$g（x）=\frac{f（x）}{{e}^{x}}$，
則${g}^{'}（x）=\frac{{f}^{'}（x）{e}^{x}-f（x）{e}^{x}}{{e}^{2x}}=\frac{{f}^{'}（x）-f（x）}{{e}^{x}}＞0$，
g（x）為R上的增函數，有g（-n）＜g（0）＜g（n），
即$\frac{f（-n）}{{e}^{-n}}＜\frac{f（0）}{{e}^{0}}＜\frac{f（n）}{{e}^{n}}$，
即eⁿf（-n）＜f（0），f（n）＞eⁿf（0），
故選：A．

點評 本題考查了函數的單調性問題，考查導數的應用，構造函數g（x）是解題的關鍵，本題是一道基礎題．