Question

已知向量=（2cosα，2sinα），=（3cosβ，3sinβ），若向量與的夾角為60°，則直線與圓的位置關系是（ ）
A．相交
B．相切
C．相離
D．相交且過圓心

Answer 1

【答案】分析：本題考查的知識點是平面微量的數量積運算，及直線與圓的位置關系，由已知中直線與圓的方程，我們易得到圓心到直線距離d的表達式，再由向量=（2cosα，2sinα），=（3cosβ，3sinβ），若向量與的夾角為60°，我們可以計算出d值，與圓半徑比較，即可得到答案．
解答：解：∵圓的方程為
∴圓心坐標為（cosβ，-sinβ），半徑為
則圓心到直線距離
d=|cosαcosβ+sinαsinβ+|=|cos（α-β）+|
又∵=（2cosα，2sinα），=（3cosβ，3sinβ），向量與的夾角為60°，
則•=6cosαcosβ+6sinαsinβ=2×3×=3
即cosαcosβ+sinαsinβ=
∴d=|+|=1＞，
故圓與直線相離．
故選C
點評：若圓心到直線的距離為d，圓的半徑為r，則：
①當d＜r時，圓與直線相交；
②當d=r時，圓與直線相切；
③當d＞r時，圓與直線相離．