Question

國家環境標準制定的空氣質量指數與空氣質量等級對應關系如下表：

空氣質量指數	0-50	51-100	101-150	151-200	201-300	300以上
空氣質量等級	1級優	2級良	3級輕度污染	4級中度污染	5級重度污染	6級嚴重污染

由全國重點城市環境監測網獲得2月份某五天甲城市和乙城市的空氣質量指數數據用莖葉圖表示如圖：
（Ⅰ）試根據上面的統計數據，判斷甲、乙兩個城市的空氣質量指數的方差的大小關系（只需寫出結果）；
（Ⅱ）試根據上面的統計數據，估計甲城市某一天空氣質量等級為2級良的概率；
（Ⅲ）分別從甲城市和乙城市的統計數據中任取一個，試求這兩個城市空氣質量等級相同的概率．
（注：s²=[（x₁-）²+（x₂-）²+…+（x_n-）²]，其中為數據x₁，x₂，…，x_n的平均數．）

Answer 1

解：（Ⅰ）甲城市的空氣質量指數的方差大于乙城市的空氣質量指數的方差．…（3分）
（Ⅱ）根據上面的統計數據，可得在這五天中甲城市空氣質量等級為2級良的頻率為，
則估計甲城市某一天的空氣質量等級為2級良的概率為．…（6分），
（Ⅲ）設事件A：從甲城市和乙城市的上述數據中分別任取一個，這兩個城市的空氣質量等級相同，由題意可知，從甲城市和乙城市的監測數據中分別任取一個，共有25個結果，分別記為：
（29，43），（29，41），（29，55），（29，58）（29，78）
（53，43），（53，41），（53，55），（53，58），（53，78），
（57，43），（57，41），（57，55），（57，58），（57，78），
（75，43），（75，41），（75，55），（75，58），（75，78），
（106，43），（106，41），（106，55），（106，58），（106，78）．
其數據表示兩城市空氣質量等級相同的包括同為1級優的為甲29，乙41，乙43，同為2級良的為甲53，甲57，甲75，乙55，乙58，乙78．
則空氣質量等級相同的為：
（29，41），（29，43），
（53，55），（53，58），（53，78），
（57，55），（57，58），（57，78），
（75，55），（75，58），（75，78）．共11個結果．
則P（A）=．
所以這兩個城市空氣質量等級相同的概率為．…（13分）
分析：（Ⅰ）由數據的離散程度可以看出哪個方差較大；
（Ⅱ）根據統計數據，利用古典概型的概率計算公式即可得出；
（Ⅲ）設事件A：從甲城市和乙城市的上述數據中分別任取一個，這兩個城市的空氣質量等級相同，由題意可知，從甲城市和乙城市的監測數據中分別任取一個，共有25個結果，其數據表示兩城市空氣質量等級相同的包括同為1級優的為甲29，乙41，乙43，同為2級良的為甲53，甲57，甲75，乙55，乙58，乙78．從而得出空氣質量等級相同的共11個結果．最后根據概率公式即可求出這兩個城市空氣質量等級相同的概率．
點評：本題是直接考查莖葉圖、列舉法計算基本事件數及事件發生的概率，熟練掌握古典概型的概率計算公式、平均數和方差的計算公式及其意義是解題的關鍵．