Question

把離心率相同的橢圓叫做“相似橢圓”，如圖的兩個相似橢圓，分別是同一個矩形的內切橢圓和外接橢圓，且q（q＞1）是這兩個橢圓長軸的長的比值，那么q=________．

Answer 1

分析：設外橢圓的方程為+=1（m＞n＞0），內橢圓的方程為+=1（a＞b＞0），利用e==結合合比定理即可求得q．
解答：設外橢圓的方程為+=1（m＞n＞0），c₁為其半焦距，
內橢圓的方程為+=1（a＞b＞0），c₂，
∵兩橢圓的離心率相等，
∴e==，
∴=，
∴===，
∴==，①
依題意P（a，b）為外橢圓為+=1上的點，
∴+=1②
由①②得：2=1，
∴=，=2，
∴=．即q===．
故答案為：．
點評：本題考查橢圓的簡單性質，考查轉化思想與運算能力，考查合分比定理，屬于難題．