Question

把離心率相同的橢圓叫做“相似橢圓”，如圖的兩個相似橢圓，分別是同一個矩形的內切橢圓和外接橢圓，且q（q＞1）是這兩個橢圓長軸的長的比值，那么q=

2

．

Answer 1

分析：設外橢圓的方程為

x2

m2

+

y2

n2

=1（m＞n＞0），內橢圓的方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），利用e=

c1

m

=

c2

a

結合合比定理即可求得q．

解答：解：設外橢圓的方程為

x2

m2

+

y2

n2

=1（m＞n＞0），c₁為其半焦距，
內橢圓的方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），c₂，
∵兩橢圓的離心率相等，
∴e=

c1

m

=

c2

a

，
∴

m

a

=

c1

c2

，
∴(

m

a

)2=(

c1

c2

)2=

m2-c12

a2-c22

=

n2

b2

，
∴

m

a

=

c1

c2

=

n

b

，①
依題意P（a，b）為外橢圓為

x2

m2

+

y2

n2

=1上的點，
∴

a2

m2

+

b2

n2

=1②
由①②得：2

a2

m2

=1，
∴

a2

m2

=

1

2

，

m2

a2

=2，
∴

m

a

=

2

．即q=

2m

2a

=

m

a

=

2

．
故答案為：

2

．

點評：本題考查橢圓的簡單性質，考查轉化思想與運算能力，考查合分比定理，屬于難題．