Question

19．已知函數f（x）=$\frac{a（x-b）}{（x-b）^{2}+c}$（a≠0，b∈R，c＞0），g（x）=m[f（x）]²-n（mn＞0），給出下列四個命題：
①當b=0時，函數f（x）在（0，$\sqrt{c}$）上單調遞增，在（$\sqrt{c}$，+∞）上單調遞減；
②函數f（x）的圖象關于x軸上某點成中心對稱；
③存在實數p和q，使得p≤f（x）≤q對于任意的實數x恒成立；
④關于x的方程g（x）=0的解集可能為{-3，-1，0，1}．
則正確命題的序號為②③．

Answer 1

分析 ①，b=0時，f（x）=$\frac{a（x-b）}{（x-b）^{2}+c}$=$\frac{ax}{{x}^{2}+c}=\frac{a}{x+\frac{c}{x}}$，因為a正負不定，所以單調性不定；
②，f（x）=$\frac{a（x-b）}{（x-b）^{2}+c}$是函數奇函數h（x）=$\frac{ax}{{x}^{2}+c}=\frac{a}{x+\frac{c}{x}}$左右平移得到；
③，當x≠0時，函數h（x）=$\frac{ax}{{x}^{2}+c}=\frac{a}{x+\frac{c}{x}}$存在最大、最小值，且f（0）=0，函數f（x）也存在最大、最小值；
④，關于x的方程g（x）=0的解集?f（x）=±$\sqrt{\frac{n}{m}}$的解，∵函數f（x）的圖象關于x軸上某點成中心對稱，故解集不可能是{-3，-1，0，1}；

解答 解：對于①，b=0時，f（x）=$\frac{a（x-b）}{（x-b）^{2}+c}$=$\frac{ax}{{x}^{2}+c}=\frac{a}{x+\frac{c}{x}}$，因為a正負不定，所以單調性不定，故錯；
對于②，f（x）=$\frac{a（x-b）}{（x-b）^{2}+c}$是奇函數h（x）=$\frac{ax}{{x}^{2}+c}=\frac{a}{x+\frac{c}{x}}$左右平移得到，故正確；
對于③，當x≠0時，函數h（x）=$\frac{ax}{{x}^{2}+c}=\frac{a}{x+\frac{c}{x}}$存在最大、最小值，且f（0）=0，∴函數f（x）也存在最大、最小值，故正確；
對于④，關于x的方程g（x）=0的解?f（x）=±$\sqrt{\frac{n}{m}}$的解，∵函數f（x）的圖象關于x軸上某點成中心對稱，故解集不可能是{-3，-1，0，1}，故錯；
故答案為：②③．

點評 本題考查了函數的基本性質，屬于中檔題．