Question

9．如圖，一豎立在地面上的圓錐形物體的母線長為4，一只小蟲從圓錐的底面圓上的點P出發，繞圓錐爬行一周后回到點P處，若該小蟲爬行的最短路程為$4\sqrt{3}$，則這個圓錐的體積為（　　）

• A． $\frac{{\sqrt{15}}}{3}$
• B． $\frac{{32\sqrt{35}π}}{27}$
• C． $\frac{{128\sqrt{2}π}}{81}$
• D． $\frac{{8\sqrt{3}}}{3}$

Answer 1

分析 作出該圓錐的側面展開圖，該小蟲爬行的最短路程為PP'，由余弦定理求出∠P′OP=$\frac{2π}{3}$．求出底面圓的半徑r，從而求出這個圓錐的高，由此能求出這個圓錐的體積．

解答 解：作出該圓錐的側面展開圖，如圖所示：
該小蟲爬行的最短路程為PP′，由余弦定理可得cos∠P′OP=$\frac{O{P}^{2}+O{{P}^{'}}^{2}-P{{P}^{'}}^{2}}{2OP•O{P}^{'}}$=-$\frac{1}{2}$，
∴$∠{P}^{'}OP=\frac{2π}{3}$．設底面圓的半徑為r，
則有$2πr=\frac{2π}{3}$，解得r=$\frac{4}{3}$．
∴這個圓錐的高為h=$\sqrt{16-\frac{16}{9}}$=$\frac{8\sqrt{2}}{3}$，
這個圓錐的體積為V=$\frac{1}{3}Sh$=$\frac{1}{3}×π{r}^{2}×h$=$\frac{1}{3}π×\frac{16}{9}×\frac{8\sqrt{2}}{3}$=$\frac{128\sqrt{2}π}{81}$．
故選：C．

點評 本題考查空間幾何體的表面展開圖的應用，最小值的求法，三角形的解法，考查轉化思想以及計算能力，是中檔題．