Question

13．已知實數x，y滿足x²+（y-2）²=1，則$\frac{x+\sqrt{3}y}{\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}}}$的取值范圍是（　　）

• A． （$\sqrt{3}$，2]
• B． [1，2]
• C． （0，2]
• D． （$\frac{\sqrt{3}}{2}$，1]

Answer 1

分析 構造直線x+$\sqrt{3}$y=0，過圓上一點P作直線的垂線PM，則$\frac{x+\sqrt{3}y}{\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}}}$=2sin∠POM，求出∠POM的范圍即可得出答案．

解答 解：設P（x，y）為圓x²+（y-2）²=1上的任意一點，
則P到直線x+$\sqrt{3}$y=0的距離PM=$\frac{x+\sqrt{3}y}{2}$，P到原點的距離OP=$\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}}$，
∴$\frac{x+\sqrt{3}y}{\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}}}$=$\frac{2PM}{OP}$=2sin∠POM．
設圓x²+（y-2）²=1與直線y=kx相切，則$\frac{2}{\sqrt{{k}^{2}+1}}=1$，解得k=±$\sqrt{3}$，
∴∠POM的最小值為30°，最大值為90°，
∴$\frac{1}{2}$≤sin∠POM≤1，
∴1≤2sin∠POM≤2．
故選：B．

點評 本題考查了直線與圓的位置關系，距離公式的應用，屬于中檔題．