Question

如圖，在直三棱柱中，平面側面，且

（1） 求證：；

（2）若直線與平面所成的角為，求銳二面角的大小.

 

 

Answer 1

（1）詳見解析；（2）

【解析】

試題分析：（1） 取的中點，連接，要證 ,只要證 平面

由直三棱柱的性質可知 ,只需證，因此只要證明平面

事實上，由已知平面側面，平面，且

所以平面成立，于是結論可證.

（2） 思路一：連接，可證即為直線與所成的角，則

過點A作于點，連，可證即為二面角的一個平面角.在直角中 ，即二面角的大小為

思路二：以點為原點，以所在直線分別為軸建立空間直角坐標系

設平面的一個法向量，平面的一個法向量為，利用向量的數量積求出這兩個法向量的坐標，進而利用法向量的夾角求出銳二面角的大小.

試題解析：.解（1）證明：如圖，取的中點，連接，

因，則

由平面側面，且平面側面，

得，又平面， 所以.

因為三棱柱是直三棱柱，則，所以.

又，從而側面 ，又側面，故.

解法一：連接，由（1）可知，則是在內的射影

∴ 即為直線與所成的角，則

在等腰直角中，，且點是中點，∴ ，且， ∴

過點A作于點，連，由（1）知，則，且

∴ 即為二面角的一個平面角

且直角中：，又，

∴ ，

且二面角為銳二面角 ∴ ，即二面角的大小為

解法二（向量法）：由（1）知且，所以以點為原點，以所在直線分別為軸建立空間直角坐標系，如圖所示，且設，則，，，，，，，

設平面的一個法向量，由， 得：

令 ，得 ，則

設直線與所成的角為，則

得，解得，即

又設平面的一個法向量為，同理可得，

設銳二面角的大小為，則

，且，得

∴ 銳二面角的大小為.

考點：1、空間直線、平面的位置關系；2、空間向量在立體幾何問題中的應用.