Question

【題目】已知函數(shù)f（x）＝lnx﹣ax，a∈R.

（1）若f（x）有兩個(gè)零點(diǎn)，求a的取值范圍；

（2）設(shè)函數(shù)g（x），證明：g（x）有極大值，且極大值小于.

Answer 1

【答案】（1）；（2）證明見解析.

【解析】

（1）由已知可得，，構(gòu)造函數(shù)，轉(zhuǎn)化為求解函數(shù)與的交點(diǎn)問題，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性即可求解.
（2）結(jié)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性的關(guān)系可證明的極值存在情況，然后結(jié)合函數(shù)的性質(zhì)即可求解其范圍.

（1）由f（x）＝lnx﹣ax＝0可得，a，

令h（x），則h′（x），

當(dāng)x∈（0，e）時(shí)，h′（x）>0，h（x）單調(diào)遞增，當(dāng)x∈（e，+∞）時(shí)，h′（x）<0，h（x）單調(diào)遞減，

∵h（e），

x→0，h（x）→﹣∞，x→+∞，h（x）→0，

∴a；

（2）∵g（x），

∴g′（x），

令I（x）＝1，則I（x）單調(diào)遞減，

當(dāng)x→0時(shí)，I（x）→+∞，當(dāng)x→+∞時(shí)，I（x）→﹣∞，

∴I（x）一定存在變號(hào)的零點(diǎn)，g（x）存在極大值，

令I（x0）＝10，則g（x）在（0，x0）上單調(diào)遞增，在（x0，+∞）上單調(diào)遞減，

故極大值g（x0）a，

又∵I（3），

∴x0>3，又g（x0）在（0，+∞）上單調(diào)遞減

∴g（x0）<