Question

已知向量p＝(a_n,2ⁿ)，向量q＝(2^n＋1，－a_n＋1)，n∈N^*，向量p與q垂直，且a₁＝1.
(1)求數列{a_n}的通項公式；
(2)若數列{b_n}滿足b_n＝log₂a_n＋1，求數列{a_n·b_n}的前n項和S_n.

Answer 1

(1) a_n＝2^n－1  (2) a_n·b_n＝n·2^n－1   S_n＝1＋(n－1)2ⁿ

解：(1)∵向量p與q垂直，
∴2ⁿa_n＋1－2^n＋1a_n＝0，即2ⁿa_n＋1＝2^n＋1a_n，
∴＝2，∴{a_n}是以1為首項， 2為公比的等比數列，∴a_n＝2^n－1.
(2)∵b_n＝log₂a_n＋1，∴b_n＝n，
∴a_n·b_n＝n·2^n－1，
∴S_n＝1＋2·2＋3·2²＋4·2³＋…＋n·2^n－1，①
∴2S_n＝1·2＋2·2²＋3·2³＋4·2⁴＋…＋n·2ⁿ，②
①－②得，
－S_n＝1＋2＋2²＋2³＋2⁴＋…＋2^n－1－n·2ⁿ
＝－n·2ⁿ＝(1－n)2ⁿ－1，
∴S_n＝1＋(n－1)2ⁿ.