Question

已知正數(shù)數(shù)列中，，前項(xiàng)和為，對(duì)任意，、、成等差數(shù)列.
（1）求和；
（2）設(shè)，數(shù)列的前項(xiàng)和為，當(dāng)時(shí)，證明：.

Answer 1

（1），；（2）證明過程詳見試題解析.

試題分析：（1）因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824035446570489.png" style="vertical-align:middle;" />、、成等差數(shù)列，所以，即，所以 ，當(dāng)時(shí)，，那么，即，∴，，，…，，，.
把以上個(gè)式子相乘得：，所以，那么.（2）因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/201408240354472091032.png" style="vertical-align:middle;" />，變形得，那么可根據(jù)數(shù)列求和的列項(xiàng)相消法先求出，顯然，又再根據(jù)，可知，所以.
試題解析：（1）依題意：，   即 ，
∴. ∴.
當(dāng)時(shí)，
②代入①并整理得:
∴，，，…，，

把以上個(gè)式子相乘得： ，   又∵
∴
∵當(dāng)時(shí)，也滿足上式，所以
∵
∴
（2）
∴
∵ ， ∴，∴
又

∴.項(xiàng)和；證明數(shù)列不等式.