Question

4．經過原點的直線與橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）交于A、B兩點，點P為橢圓上不同于A、B的一點，直線PA、PB的斜率均存在，且直線PA、PB的斜率之積為-$\frac{1}{4}$．
（1）求橢圓C的離心率；
（2）設F₁、F₂分別為橢圓的左、右焦點，斜率為k的直線l經過橢圓的右焦點，且與橢圓交于M、N兩點，若點F₁在以|MN|為直徑的圓內部，求k的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）設P（x₀，y₀），A（x₁，y₁），B（-x₁，-y₁），代入橢圓方程得$\frac{{{y}_{0}}^{2}-{{y}_{1}}^{2}}{{{x}_{0}}^{2}-{{x}_{1}}^{2}}=-\frac{^{2}}{{a}^{2}}$，由直線PA、PB的斜率之積為-$\frac{1}{4}$，得到$\frac{^{2}}{{{a}^{2}}_{\;}}$=$\frac{1}{4}$，由此能求出橢圓C的離心率．
（2）由e=$\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，得$\frac{a}=\frac{1}{2}$，從而$\frac{{x}^{2}}{4^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1，c=$\sqrt{3}b$，焦點F₁（-$\sqrt{3}b$，0），設MN：y=k（x-$\sqrt{3}b$），聯立$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x-\sqrt{3}b）}\\{{x}^{2}+4{y}^{2}=4^{2}}\end{array}\right.$，得$（4{k}^{2}+1）{x}^{2}-8\sqrt{3}{k}^{2}bx+12{k}^{2}^{2}-4^{2}=0$，由此利用韋達定理、向量的數量積，結合已知條件能求出k的取值范圍．

解答 解：（1）設P（x₀，y₀），A（x₁，y₁），B（-x₁，-y₁），
則$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{{x}_{0}}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{{y}_{0}}^{2}}{^{2}}=1}\\{\frac{{{x}_{1}}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{{y}_{1}}^{2}}{^{2}}=1}\end{array}\right.$，∴$\frac{{{y}_{0}}^{2}-{{y}_{1}}^{2}}{{{x}_{0}}^{2}-{{x}_{1}}^{2}}=-\frac{^{2}}{{a}^{2}}$，
∵${k}_{PA}•{k}_{PB}=\frac{{y}_{0}-{y}_{1}}{{x}_{0}-{x}_{1}}$•$\frac{{y}_{0}+{y}_{1}}{{x}_{0}+{x}_{1}}$=$\frac{{{y}_{0}}^{2}-{{y}_{1}}^{2}}{{{x}_{0}}^{2}-{{x}_{1}}^{2}}=-\frac{1}{4}$，
∴$\frac{^{2}}{{{a}^{2}}_{\;}}$=$\frac{1}{4}$，
∴橢圓C的離心率e=$\sqrt{1-\frac{^{2}}{a2}}$=$\sqrt{1-\frac{1}{4}}=\frac{\sqrt{3}}{2}$．
（2）∵e=$\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，∴$\frac{a}=\frac{1}{2}$，
∴$\frac{{x}^{2}}{4^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1，c=$\sqrt{3}b$，焦點F₁（-$\sqrt{3}b$，0），
設MN：y=k（x-$\sqrt{3}b$），
聯立$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x-\sqrt{3}b）}\\{{x}^{2}+4{y}^{2}=4^{2}}\end{array}\right.$，得$（4{k}^{2}+1）{x}^{2}-8\sqrt{3}{k}^{2}bx+12{k}^{2}^{2}-4^{2}=0$，
設M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），則${x}_{1}+{x}_{2}=\frac{8\sqrt{3}{k}^{2}b}{4{k}^{2}+1}$，${x}_{1}{x}_{2}=\frac{12{k}^{2}^{2}-4^{2}}{4{k}^{2}+1}$，
${y}_{1}{y}_{2}={k}^{2}（{x}_{1}-\sqrt{3}b）（{x}_{2}-\sqrt{3}b）$=${k}^{2}[{x}_{1}{x}_{2}-\sqrt{3}b（{x}_{1}+{x}_{2}）+3^{2}]$，
∴$\overrightarrow{{F}_{1}M}•\overrightarrow{{F}_{1}N}$＜0，
∴（x₁+$\sqrt{3}b$，y₁）•（${x}_{2}+\sqrt{3}b$，y₂）=（${x}_{1}+\sqrt{3}b{x}_{1}{x}_{2}+\sqrt{3}b$）+y₁y₂
=${x}_{1}{x}_{2}+\sqrt{3}b（{x}_{1}+{x}_{2}）+3^{2}$+${k}^{2}[{x}_{1}{x}_{2}-\sqrt{3}b（{x}_{1}+{x}_{2}）+3^{2}]$
=（1+k²）x₁x₂-$\sqrt{3}b$（x₁+x₂）（1-k²）+3b²（1+k²）
=$\frac{（1+{k}^{2}）（12{k}^{2}^{2}-4^{2}）}{4{k}^{2}+1}$+$\frac{24{k}^{2}^{2}（1-{k}^{2}）}{4{k}^{2}+1}$+$\frac{-3^{2}（1+{k}^{2}）（4{k}^{2}+1）}{4{k}^{2}+1}$＜0，
∴（1+k²）（12k²-4）+24k²（1-k²）+3（1+k²）（4k²+1）＜0，
整理，得${k}^{2}＜\frac{1}{47}$，解得k的取值范圍是（-$\frac{\sqrt{47}}{47}，\frac{\sqrt{47}}{47}$）．

點評 本題考查橢圓的離心率的求法，考查實數的取值范圍求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意韋達定理、橢圓性質的合理運用．