Question

16．心理學家分析發現“喜歡空間想象”與“性別”有關，某數學興趣小組為了驗證此結論，從全球組員中按分層抽樣的方法抽取50名同學（男生30人、女生20人），給每位同學立體幾何題，代數題各一道，讓各位同學自由選擇一道題進行解答，選題情況統計如表：（單位：人）

	立體幾何題	代數題	總計
男同學	22	8	30
女同學	8	12	20
總計	30	20	50

（Ⅰ）能否有97.5%以上的把握認為“喜歡空間想象”與“性別”有關？
（Ⅱ）經統計得，選擇做立體幾何題的學生正答率為$\frac{4}{5}$，且答對的學生中男生人數是女生人數的5倍，現從選擇做幾何題的8名女生中任意抽取兩人對她們的答題情況進行探究，記抽取的兩人中答對的人數為X，求 X的分布列及數學期望．
附表及公式

P（K2≥k）	0.15	0.10	0.05	0.025	0.010	0.005	0.001
k	2.072	2.706	3.841	5.024	6.635	7.879	10.828

K²=$\frac{n（ad-bc）^{2}}{（a+b）（c+d）（a+c）（b+d）}$．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出K²＞5.024，從而得到有97.5%的把握認為視覺和空間能力與性別有關．
（Ⅱ）由題意得X的所有可能取值為0，1，2，分別求出相應的概率，由此能求出X的分布列和E（X）．

解答 解：（Ⅰ）${{K}^2}=\frac{{50{{（22×12-8×8）}^2}}}{30×20×30×20}=\frac{50}{9}＞5.024$，…4分
故有97.5%以上的把握認為“喜歡空間想象”與“性別”有關；…6分
（Ⅱ）由題知選做立體幾何題且答對的共24人，其中男生20人、女生4人，…8分
故X的所有取值分別為0，1，2，
P（X=0）=$\frac{{C}_{4}^{2}}{{C}_{8}^{2}}$=$\frac{3}{14}$，
P（X=1）=$\frac{{C}_{4}^{1}{C}_{4}^{1}}{{C}_{8}^{2}}$=$\frac{8}{14}$，
P（X=2）=$\frac{{C}_{4}^{2}}{{C}_{8}^{2}}$=$\frac{3}{14}$，
分布列為：

X	0	1	2
P	$\frac{3}{14}$	$\frac{8}{14}$	$\frac{3}{14}$

∴E（X）=0×$\frac{3}{14}$+1×$\frac{8}{14}$+2×$\frac{3}{14}$=1．…12分

點評 本題考查獨立性檢驗的應用，考查離散型隨機變量的分布列和數學期望的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意排列組合知識的合理運用．