Question

6．已知函數f（x）=ax+$\frac{b}{x}$+c是奇函數，且滿足f（1）=$\frac{5}{2}$，f（2）=$\frac{17}{4}$．
（1）求a，b，c的值；
（2）試判斷函數f（x）在區間（0，$\frac{1}{2}$）上的單調性并證明．

Answer 1

分析 （1）由函數是奇函數得到c=0，再利用題中的2個等式求出a、b的值．
（2）區間（0，$\frac{1}{2}$）上任取2個自變量x₁、x₂，將對應的函數值作差、變形到因式積的形式，判斷符號，依據單調性的定義做出結論．

解答 解：（1）∵f（-x）=-f（x）∴c=0，
∵$\left\{\begin{array}{l}{f（1）=\frac{5}{2}}\\{f（2）=\frac{17}{4}}\end{array}\right.$，∴$\left\{\begin{array}{l}{a+b=\frac{5}{2}}\\{2a+\frac{b}{2}=\frac{14}{4}}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{a=2}\\{b=\frac{1}{2}}\end{array}\right.$；
（2）∵由（1）問可得f（x）=2x+$\frac{1}{2x}$，
∴f（x）在區間（0，0.5）上是單調遞減的；
證明：設任意的兩個實數0＜x₁＜x₂＜$\frac{1}{2}$，
∵f（x₁）-f（x₂）=2（x₁-x₂）+$\frac{1}{{2x}_{1}}$-$\frac{1}{{2x}_{2}}$=2（x₁-x₂）+$\frac{{{x}_{2}-x}_{1}}{{{2x}_{1}x}_{2}}$=$\frac{{（x}_{2}{-x}_{1}）（1-{{4x}_{1}x}_{2}）}{{{2x}_{1}x}_{2}}$，
又∵0＜x₁＜x₂＜$\frac{1}{2}$，
∴x₁-x₂＜0，0＜x₁x₂＜$\frac{1}{4}$，1-4x₁x₂＞0，
f（x₁）-f（x₂）＞0，
∴f（x）在區間（0，0.5）上是單調遞減的．

點評 本題考查用待定系數法求解析式，證明函數的單調性．