Question

7．已知四棱錐P-ABCD的底面為菱形，∠BAD=60°，側面PAD為正三角形，且平面PAD⊥平面ABCD，則下列說法中錯誤的是（　　）

• A． 異面直線PA與BC的夾角為60°
• B． 若M為AD的中點，則AD⊥平面PMB
• C． 二面角P-BC-A的大小為45°
• D． BD⊥平面PAC

Answer 1

分析 根據線面垂直，異面直線所成角的大小以及二面角的求解方法分別進行判斷即可．

解答 解：對于A，∵AD∥BC，∴∠PAD為異面直線PA與BC的夾角，為60°，正確；
對于B，連PM，BM，則∵側面PAD為正三角形，
∴PM⊥AD，
又底面ABCD是∠DAB=60°的菱形，
∴三角形ABD是等邊三角形，
∴AD⊥BM，
∴AD⊥平面PBM，故B正確；
對于C，∵底面ABCD為菱形，∠DAB=60°平面PAD⊥平面ABCD，
∴BM⊥BC，則∠PBM是二面角P-BC-A的平面角，
設AB=1，則BM=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，PM=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
在直角三角形PBM中，tan∠PBM=1，
即∠PBM=45°，故二面角P-BC-A的大小為45°，故C正確，
故錯誤的是D，
故選：D．

點評 本題主要考查空間直線和平面位置關系以及二面角的求解，根據相應的判斷和證明方法是解決本題的關鍵．綜合性較強，難度較大．