Question

已知數列{a_n}滿足：a₁=a²-2a+2，a_n+1=a_n+2（n-2）+1，n∈N^*，當且僅當n=3時a最小，則實數a的取值范圍是（　　）

• A、（-1，3）
• B、（

  5

  2

  ，3）
• C、（2，4）
• D、（

  5

  2

  ，

  7

  2

  ）

Answer 1

考點：數列遞推式

專題：點列、遞歸數列與數學歸納法

分析：在數列遞推式中分別取n=1，2，…，累加后得到a_n=n²-2an+a²+1．求出該數列函數的對稱軸，結合已知列不等式求解實數a的取值范圍．

解答：解：由a_n+1=a_n+2（n-2）+1，得：
a₂-a₁=2（1-a）+1，
a₃-a₂=2（2-a）+1，
a₄-a₃=2（3-a）+1，
…
a_n-a_n-1=2（n-1-a）+1．
累加得：a_n=a₁+2[1+2+3+…+（n-1）+（n-1）a]+n-1
=a₁+（n-1）n-2（n-1）a，
∵a₁=a²-2a+2，
∴f（n）=a_n=a²-2a+2+n²-n-2（n-1）a+n-1=n²-2an+a²+1．
該函數開口向上，對稱軸方程為n=a．
∵n∈N^*
∴當

5

2

＜a＜

7

2

時，f（n）=a_n最小．
故選：D．

點評：本題考查了數列遞推式，訓練了利用累加法求數列的通項公式，考查了數列的函數特性，是中檔題．