Question

數列{a_n}滿足a₁=3，a_n-a_na_n+1=1，A_n表示{a_n}前n項之積，則A₂₀₁₄=（　　）

• A、-3
• B、3
• C、-2
• D、2

Answer 1

考點：數列遞推式

專題：點列、遞歸數列與數學歸納法

分析：由首項和遞推式逐一求出a₂，a₃，a₄，發現數列的項周期出現，求出2014所含周期數，求出一個周期內的項的乘積，則可求得A₂₀₁₄的值．

解答：解：∵a₁=3，
代入a_n-a_na_n+1=1  ①
得a2=

2

3

  ②
在把a2=

2

3

代入a_n-a_na_n+1=1，
得到a3=-

1

2

  ③
把a3=-

1

2

代入a_n-a_na_n+1=1，
得到a₄=3  ④
由此可見a₄與a₁相等，以后的項也會出現對應相同的數值，即每三項一重復，循環環出現，
看2014里包含多少個三項，
∵2014=671×3+1．
∴A₂₀₁₄=[3×

2

3

×(-

1

2

)]671×3=-3．
故選：A．

點評：本題考查了數列遞推式，解答此題的關鍵在于發現數列的周期性并求出周期，是中檔題．