Question

9．已知函數f（x）是定義在R上的奇函數，當x≥0時，$f（x）=\frac{1}{2}（|x-1|+|x-2|-3）$，若?x∈R，f（x-a）≤f（x），則a的取值范圍是（　　）

• A． a≥3
• B． -3≤a≤3
• C． a≥6
• D． -6≤a≤6

Answer 1

分析 根據題意，由函數在x≥0時的解析式，將其用分段函數表示為f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-x，0≤x＜1}\\{-1，1≤x≤2}\\{x-3，x＞2}\end{array}\right.$，又由函數為奇函數，利用奇函數關于原點對稱的性質可得f（x）的圖象，進而分析可得a的取值范圍，即可得答案．

解答 解：根據題意，當x≥0時，$f（x）=\frac{1}{2}（|x-1|+|x-2|-3）$=$\left\{\begin{array}{l}{-x，0≤x＜1}\\{-1，1≤x≤2}\\{x-3，x＞2}\end{array}\right.$，
又由函數為奇函數，則其圖象如圖：
若?x∈R，f（x-a）≤f（x），
即點（x-a，f（x-a））在點（x，f（x））的下方或同一條水平線上，
必有a≥6，
故選：C．

點評 本題考查函數奇偶性的性質以及應用，涉及分段函數的性質，關鍵是依據題意，作出函數的圖象．