Question

已知x，y均為正實數，且

1

2+x

+

1

2+y

=

1

3

，求x+y的最小值．

Answer 1

分析：由

1

2+x

+

1

2+y

=

1

3

和要求的x+y均為和式，不能直接用基本不等式，可將x+y寫成x+2+y+2-4形式，再乘以

1

2+x

+

1

2+y

=

1

3

，創造性的應用基本不等式；也可以用消元思想，解出x或y，轉化成函數求最值．

解答：解：x+2+y+2=3（

1

2+x

+

1

2+y

）（x+2+y+2）=3(2+

2+y

2+x

+

2+x

2+y

)≥3(2+2)=12，當且僅當x=y時“=”成立．
所以x+y的最小值為12-4=8

點評：本題考查基本不等式求最值，與倒數和、和有關的最值問題，常用乘一項，再除一項，構造乘積是常數的方法，也可用消元法．