Question

一個正四面體棱長為6，則該正四面體的內切球的體積為

 

．

Answer 1

考點：球內接多面體

專題：計算題,空間位置關系與距離,球

分析：作出正四面體的圖形，確定球的球心位置為O，說明OE是內切球的半徑，運用勾股定理計算，即可得到球的體積．

解答： 解：如圖O為正四面體ABCD的內切球的球心，
正四面體的棱長為6，
所以OE為內切球的半徑，設OA=OB=R，
在等邊三角形BCD中，BE=

3

3

×6=2

3

，
AE=

AB2-BE2

=

36-12

=2

6

．
由OB²=OE²+BE²，即有R²=（2

6

-R）²+12
解得，R=

3 6

2

．OE=AE-R=

6

2

，
則其內切球的半徑是

6

2

，
內切球的體積為

4

3

π×（

6

2

）³=

6

π．
故答案為：

6

π．

點評：本題考查正四面體的內切球半徑的求法，內切球的半徑是正四面體的高的

1

4

，是中檔題，解題時要認真審題，注意空間思維能力的培養．