Question

4．設函數f（x）=|x-a|-2|x-1|．
（Ⅰ）當a=3時，解不等式f（x）≥1；
（Ⅱ）若f（x）-|2x-5|≤0對任意的x∈[1，2]恒成立，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）通過對x取值的分類討論，去掉絕對值符號，即可求得不等式f（x）≥1的解集；
（Ⅱ）利用等價轉化思想，可得|x-a|≤3，從而可得$\left\{\begin{array}{l}{a-3≤1}\\{a+3≥2}\end{array}\right.$，即可求出實數a的取值范圍．

解答 解：（Ⅰ）f（x）≥1，即|x-3|-|2x-2|≥1
x$≤1\$時，3-x+2x-2≥1，∴x≥0，∴0≤x≤1；
1＜x＜3時，3-x-2x+2≥1，∴x≤$\frac{4}{3}$，∴1＜x≤$\frac{4}{3}$；
x≥3時，x-3-2x+2≥1，∴x≤-2∴1＜x≤$\frac{4}{3}$，無解，…（4分）
所以f（x）≥1解集為[0，$\frac{4}{3}$]．…（5分）
（Ⅱ）當x∈[1，2]時，f（x）-|2x-5|≤0可化為|x-a|≤3，
∴a-3≤x≤a+3，…（7分）
∴$\left\{\begin{array}{l}{a-3≤1}\\{a+3≥2}\end{array}\right.$，…（8分）
∴-1≤a≤4．…（10分）

點評 本題考查絕對值不等式的解法，著重考查等價轉化思想、分類討論思想與綜合運算能力，屬于中檔題．