Question

16．已知函數f（x）=x³-ax²+b，曲線y=f（x）在點（2，4）處的切線方程為4x-y-4=0．
（Ⅰ）求a，b 的值；
（Ⅱ）求函數f（x）在[-1，3]上的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函數的導數，通過計算f（2），f′（2）的值，得到關于a，b的方程組，求出a，b的值即可；
（Ⅱ）求出函數的導數，解費用導函數的方程，求出函數的單調區間，從而求出f（x）在[-1，3]的最大值即可．

解答 解：（I）f′（x）=3x²-2ax．…（2分）
由已知有$\left\{\begin{array}{l}{f（2）=4}\\{f′（2）=4}\end{array}\right.$即$\left\{\begin{array}{l}{8-4a+b=4}\\{12-4a=4}\end{array}\right.$…（4分）
解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=2}\\{b=4}\end{array}\right.$…（5分）
（II）由（Ⅰ）得：f（x）=x³-2x²+4，f′（x）=3x²-4x．
令f′（x）=0，解得：x=0或x=$\frac{4}{3}$…（8分）

x	-1	（-1，0）	0	（0，$\frac{4}{3}$）	$\frac{4}{3}$	（$\frac{4}{3}$，3）	3
f′（x）		+	0	-	0	+
f（x）	1	增函數	極大值4	減函數	極小值$\frac{76}{27}$	增函數	13

…．（10分）
由表可知，當x∈[-1，3]時，f（x）最大值為f（3）=13．…（12分）

點評 本題考查了函數的單調性、最值問題，考查導數的應用，是一道中檔題．