Question

8．已知兩個定點A（-2，0），B（1，0），動點P滿足|PA|=2|PB|．設動點P的軌跡為曲線C，過點（0，-3）的直線l與曲線C交于不同的兩點D（x₁，y₁），E（x₂，y₂）．
（Ⅰ）求曲線C的軌跡方程；
（Ⅱ）求直線l斜率的取值范圍；
（Ⅲ）若x₁x₂+y₁y₂=3，求|DE|．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用直接法，求曲線C的軌跡方程；
（Ⅱ）由于直線與圓有兩個不同的交點，故圓心到直線l的距離應小于圓的半徑，即可求直線l斜率的取值范圍；
（Ⅲ）若x₁x₂+y₁y₂=3，求出k，即可求|DE|．

解答 解：（Ⅰ）設點P坐標為（x，y）
由|PA|=2|PB|得：$\sqrt{（x+2）^{2}+{y}^{2}}$=2$\sqrt{（x-1）^{2}+{y}^{2}}$
整理得：曲線C的軌跡方程為（x-2）²+y²=4…（4分）
（II）依題意：設直線l的方程為：y=kx-3．
由于直線與圓有兩個不同的交點，故圓心到直線l的距離應小于圓的半徑，即：d=$\frac{|2k-3|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$＜2，
∴$k＞\frac{5}{12}$…（8分）
（Ⅲ）設直線l的方程為：y=kx-3．
代入（x-2）²+y²=4，整理得（1+k²）x²-（4+6k）x+9=0
∵直線l與圓C相交于不同兩點D（x₁，y₁），E（x₂，y₂）
∴x₁+x₂=$\frac{4+6k}{1+{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{9}{1+{k}^{2}}$，
y₁y₂=（kx₁-3）（kx₂-3）=$\frac{9-12k}{1+{k}^{2}}$
又∵x₁x₂+y₁y₂=3，
∴$\frac{9}{1+{k}^{2}}$+$\frac{9-12k}{1+{k}^{2}}$=3，
整理得：k²+4k-5=0，解得k=1或-5（舍）…（10分）
∴直線l的方程為：y=x-3，
圓心C到l的距離d=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，|DE|=2$\sqrt{4-\frac{1}{2}}$=$\sqrt{14}$…（12分）

點評 本題考查軌跡方程，考查直線與圓的位置關系，考查韋達定理的運用，屬于中檔題．