Question

3．設A，B分別是直線y=$\frac{{2\sqrt{5}}}{5}$x和y=-$\frac{{2\sqrt{5}}}{5}$x上的動點，且|AB|=2$\sqrt{5}$，設O為坐標原點，動點P滿足$\overrightarrow{OP}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}$．
（Ⅰ）求動點P的軌跡方程；
（Ⅱ）斜率為1不經過原點O，且與動點P的軌跡相交于C，D兩點，M為線段CD的中點，直線CD與直線OM能否垂直？證明你的結論．

Answer 1

分析 （Ⅰ）設出A，B坐標，P的坐標，利用向量關系，|AB|距離即可求動點P的軌跡方程；
（Ⅱ）直線CD與直線OM不垂直．設C（x₃，y₃），D（x₄，y₄），利用平方差法轉化求解即可．

解答 解：（Ⅰ）設$A（{x_1}，\frac{{2\sqrt{5}}}{5}{x_1}），B（{x_2}，-\frac{{2\sqrt{5}}}{5}{x_2}），P（x，y）$，…（1分）
∵$\overrightarrow{OP}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}$，∴$x={x_1}+{x_2}，y=\frac{{2\sqrt{5}}}{5}（{x_1}-{x_2}）$．…（3分）
∵$|AB|=2\sqrt{5}$，∴$20={（{x_1}-{x_2}）^2}+{（\frac{{2\sqrt{5}}}{5}{x_1}+\frac{{2\sqrt{5}}}{5}{x_2}）^2}$，…（5分），
$20=\frac{5}{4}{y^2}+\frac{4}{5}{x^2}$，
∴動點P的軌跡方程$\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{16}=1$．…（6分）
（Ⅱ）直線CD與直線OM不垂直．
設C（x₃，y₃），D（x₄，y₄），$\left\{\begin{array}{l}\frac{x_3^2}{25}+\frac{y_3^2}{16}=1\\ \frac{x_4^2}{25}+\frac{y_4^2}{16}=1\end{array}\right.$…（8分）
$\frac{{（{x_3}-{x_4}）（{x_3}+{x_4}）}}{25}+\frac{{（{y_3}-{y_4}）（{y_3}+{y_4}）}}{16}=0$，…（10分）
∵直線CD的斜率為1，
∴$\frac{{（{y_3}+{y_4}）}}{{（{x_3}+{x_4}）}}=-\frac{16}{25}$，…（11分）
∴直線OM的斜率為$-\frac{16}{25}$，
∴直線CD與直線OM不垂直．…（12分）

點評 本題考查軌跡方程的求法，直線與圓錐曲線位置關系的綜合應用，考查轉化思想以及計算能力．