Question

【題目】在四棱錐P-ABCD中，側面底面ABCD，，底面ABCD是直角梯形， ．

（1）求證：平面PBD：

（2）設E為側棱PC上異于端點的一點，，試確定的值，使得二面角E-BD-P的余弦值為．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析 （2）

【解析】

（1）以D為原點建立空間直角坐標系，利用推出，結合可證明線面垂直；（2）設，由用表示出點E的坐標，從而求出平面EBD的一個法向量，代入即可求得.

（1）證明：因為側面底面ABCD，，

所以底面ABCD，所以．

又因為，即，

因此可以D為原點建立如圖所示的空間直角坐標系，

則，，

所以，所以．

由底面ABCD，可得，

又因為，所以平面．

（2）因為，又，

設，則，

所以．設平面EBD的法向量為，

因為，由，得，

令，則可得平面EBD的一個法向量為，

，，，

代入，化簡得，解得或，

又由題意知，故．