Question

【題目】如圖，在四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，側棱AA1⊥底面ABCD，AB∥DC，

．

（Ⅰ）求證：CD⊥平面ADD1A1；

（Ⅱ）若直線AA1與平面AB1C所成角的正弦值為，求k的值.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）見解析（Ⅱ）1

【解析】

試題（Ⅰ）取CD的中點為E，連結BE，則ADEB為平行四邊形，所以ADBE=4k，所以BC2=BE2+EC2，所以BE⊥DC，所以AD與BC垂直，AA1⊥面ABCD，所以AA1⊥CD，所以CD垂直面AA1D1D；（Ⅱ）以D為原點，DA，DC，DD1為軸，建立空間直角坐標系，寫出A、A1，B1，C的坐標，求出面AB1C的一個法向量，算出向量坐標，計算出這兩個向量的夾角，再利用向量夾角與線面角關系，列出關于k的方程，若能解出k值..

試題解析：（Ⅰ）取CD的中點E，連結BE.

∵AB∥DE，ABDE3k，∴四邊形ABED為平行四邊形， 2分

∴BE∥AD且BEAD4k.

在△BCE中，∵BE4k，CE3k，BC5k，∴BE2＋CE2BC2，

∴∠BEC90°，即BE⊥CD，

又∵BE∥AD，∴CD⊥AD. 4分

∵AA1⊥平面ABCD，CD平面ABCD，

∴AA1⊥CD．又AA1∩ADA，

ADD1A1. 6分

（Ⅱ）以D為原點，，，的方向為x，y，z軸的正方向建立如圖所示的空間直角坐標系，

則

所以，，．

設平面AB1C的法向量n(x，y，z)，

則由得

取y2，得. 9分

設AA1與平面AB1C所成角為θ，則

sin θ|cos〈，n〉|，

解得k1，故所求k的值為1. 12分