Question

【題目】對于給定的正整數(shù)k,若數(shù)列{an}滿足

=2kan對任意正整數(shù)n(n> k) 總成立，則稱數(shù)列{an} 是“P(k)數(shù)列”.

(1)證明：等差數(shù)列{an}是“P(3)數(shù)列”；

若數(shù)列{an}既是“P(2)數(shù)列”，又是“P(3)數(shù)列”，證明：{an}是等差數(shù)列.

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）見解析

【解析】試題分析：（1）利用等差數(shù)列性質(zhì)得，即得 ，再根據(jù)定義即可判斷；（2）先根據(jù)定義得， ，再將條件集中消元： ， ，即得，最后驗證起始項也滿足即可．

試題解析：證明:（1）因為是等差數(shù)列，設(shè)其公差為，則，

從而，當(dāng)時，

，

所以，

因此等差數(shù)列是“數(shù)列”.

（2）數(shù)列既是“數(shù)列”，又是“數(shù)列”，因此，

當(dāng)時， ，①

當(dāng)時， .②

由①知， ，③

，④

將③④代入②，得，其中，

所以是等差數(shù)列，設(shè)其公差為.

在①中，取，則，所以，

在①中，取，則，所以，

所以數(shù)列是等差數(shù)列.

點睛:證明為等差數(shù)列的方法：①用定義證明： 為常數(shù)）；②用等差中項證明： ；③通項法： 為關(guān)于的一次函數(shù)；④前項和法： ．