Question

【題目】已知函數（， 為自然對數的底數）在點處的切線經過點．

（Ⅰ）討論函數的單調性；

（Ⅱ）若，不等式恒成立，求實數的取值范圍．

Answer 1

【答案】(1) 當時，函數在上單調遞減；當時，函數在上遞減，函數在上單調遞增；（2）.

【解析】試題分析: （Ⅰ）求出，由過點的直線的斜率為可得，討論兩種情況，分別由得增區間， 得減區間；（Ⅱ）原不等式等價于不等式恒成立，利用導數研究的單調性，求其最小值，令其最小值不小于零即可得結果.

試題解析：（Ⅰ）因為，所以過點的直線的斜率為，

而，由導數的幾何意義可知， ，

所以，所以．則，

當時， ，函數在上單調遞減；當時，由得，

當時， ，函數單調遞減，當時， ，

函數單調遞增．

（Ⅱ）不等式恒成立，即不等式恒成立，設，

若，則，函數單調遞增且不存在最小值，不滿足題意；當時，由得，

當時， 單調遞減；

當時， 單調遞增，

所以，要使得恒成立，只需恒成立，由于，所以有，解得，即當時， 恒成立，即恒成立，也即不等式恒成立，所以實數的取值范圍為．