Question

若△ABC的定點(diǎn)B，C的坐標(biāo)分別為（-4，0），（4，0），AC、AB邊上的中線長之和為15，則△ABC的重心G的軌跡方程為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：軌跡方程

專題：計(jì)算題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：根據(jù)三角形重心的性質(zhì)可得G到B、C兩點(diǎn)的距離之和等于10，因此G的軌跡為以B、C為焦點(diǎn)的橢圓．利用題中數(shù)據(jù)加以計(jì)算可得相應(yīng)的橢圓方程，注意到點(diǎn)G不能落在x軸上得到答案．

解答： 解：設(shè)AC、AB邊上的中線分別為CD、BE
∵BG=

2

3

BE，CG=

2

3

CD
∴BG+CG=

2

3

（BE+CD）=10（定值）＞8
因此，G的軌跡為以B、C為焦點(diǎn)的橢圓，2a=10，c=4
∴a=5，b=3，可得橢圓的方程為

x2

25

+

y2

9

=1
∵當(dāng)G點(diǎn)在x軸上時(shí)，A、B、C三點(diǎn)共線，不能構(gòu)成△ABC
∴G的縱坐標(biāo)不能是0，可得△ABC的重心G的軌跡方程為

x2

25

+

y2

9

=1（y≠0）
故答案為：

x2

25

+

y2

9

=1（y≠0）．

點(diǎn)評(píng)：本題給出三角形兩條中線長度之和等于定值，求重心G的軌跡方程．著重考查了三角形重心的性質(zhì)、橢圓的定義與標(biāo)準(zhǔn)方程和軌跡方程的求法等知識(shí)，屬于中檔題．