Question

已知數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式a_n=

1

n2

，證明{a_n}的前n項(xiàng)和小于

7

4

．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和

專題：點(diǎn)列、遞歸數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法

分析：對(duì)n分類討論n=1和n≥2，當(dāng)n≥2時(shí)利用n²＞n²-1得

1

n2

＜

1

n2-1

，由放縮法和裂項(xiàng)相消求和法進(jìn)行證明．

解答： 解：當(dāng)n=1時(shí)，s₁=a₁=1＜

7

4

，
當(dāng)n≥2時(shí)，n²＞n²-1，則

1

n2

＜

1

n2-1

=

1

2

(

1

n-1

-

1

n+1

)，
所以數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n＜1+

1

2

[（1-

1

3

）+（

1

2

-

1

4

）+（

1

3

-

1

5

）+…+(

1

n-1

-

1

n+1

)]
=1+

1

2

（1+

1

2

-

1

n

-

1

n+1

）=

7

4

-

1

2

（

1

n

+

1

n+1

）＜

7

4

，
綜上得，數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n＜

7

4

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查利用放縮法證明數(shù)列有關(guān)不等式的問題，以及裂項(xiàng)相消求和法，屬于中檔題．